T8.1. Injection d’un soluté dans une veine.
Une veine est schématisée par un tube horizontal de très faible diamètre
d'axe x'x dans lequel s'écoule le sang à la vitesse constante
(v > 0). Au point O d'abscisse x
= 0 on injecte un soluté S goutte à goutte avec un débit tel que la
concentration molaire co de
soluté en ce point reste constante.
Soit c(x, t) la concentration à la date t dans
une section d'abscisse x. On note
la densité molaire de courant dû à la diffusion du
soluté dans le sang, le coefficient de diffusion D étant considéré
comme constant. L'étude porte sur le phénomène de diffusion à contre-courant
c'est-à-dire en tout point défini par une abscisse x < 0.
1. Etablir l'équation aux dérivées
partielles vérifiées par c(x,t).
2. Résoudre cette équation et exprimer
c(x) lorsque le régime permanent est établi.
3. Un organe situé en amont du point
d'injection à la distance d ne doit pas recevoir une concentration
dépassant cm
du produit perfusé. Déterminer l’expression de la concentration co
de façon que la concentration reçue par l'organe soit au maximum égale au
1/1000 de la dose critique.
