T4.9. Relation entre p et V dans le cas où "gamma" dépende de la température.

On applique l’identité thermodynamique :

 

Comme la transformation est isentropique et que le gaz est parfait on a :

 

 il vient :

 (1)

Comme  on a  et donc .

L’équation (1) s’écrit alors :

 

On donne ,et en tenant compte de l’équation d’état du gaz parfait, l’équation différentielle précédente s’écrit :

 

On opère une décomposition en fractions rationnelles :

 

 

L’intégration conduit à :

 

On remplace u par pV et on élève les deux membres de l’équation à la puissance b-1 :

 

Dans le cas où a = 0, on a b = 𝛾 , on obtient :

             

Ce qui est l’expression de la loi de Laplace dans le cas où le coefficient 𝛾 ne dépend pas de la température.