T4.8. Optimisation d’un compresseur.

1. Entropie créée.

On étudie le système constitué du gaz, du piston et du corps de pompe.

La variation d’entropie de ce système s’écrit :

 

L’entropie d’échange  s’écrit dans le cas de cette transformation monotherme :

 

Comme les états extrêmes de température du système sont les mêmes on a :

 

Pour déterminer la variation d’entropie, on part de l’identité thermodynamique et de l’équation d’état du gaz parfait :

 

On obtient le bilan entropique suivant :

 

Le travail effectué lors de cette transformation est :

 

L’entropie créée  ne peut être que positive ou nulle. Le travail minimal à fournir correspond à  valeur caractéristique d’une transformation réversible.

 

Pour obtenir cette il faut réaliser une transformation qui assure la réversibilité des échanges thermiques avec l’extérieur à la température  et une réversibilité mécanique. La transformation souhaitée est alors une isotherme.

On calcule le travail sur une telle transformation :

 

2. Travail W₁. Comparaison.

Sur l’adiabatique réversible :  

Sur l’isobare :  

Sur l’ensemble de la transformation :

 

Pour déterminer , on utilise le fait que la transformation AB soit une isentropique d’un gaz parfait de coefficient  constant et que la loi de Laplace est alors applicable :

 

3. Pression p. Travail minimal W₂.

La suite des étapes de la nouvelle transformation suivie par le gaz est :

 

Pour l’ensemble de la transformation on a :

 

On utilise à nouveau la loi de Laplace pour les transformations AB et CD :

 

On obtient ainsi l’expression du travail W en fonction de la pression p :

 

Pour déterminer la valeur de p qui rend W minimal on cherche la valeur nulle de la dérivée de W par rapport à p (on pose  ) :

 

Cette dérivée s’annule pour :

 

Cette valeur de p est bien comprise entre . On admet que cette valeur correspond à un minimum de W  noté  :

 

 

Le compresseur à deux étages est plus performant quant au travail à fournir.