T2.13. Aérostat dans l’atmosphère
terrestre.
On peut considérer que dans
une zone de l'atmosphère d'environ 10 km d'épaisseur la température
varie en fonction de l'altitude z
suivant une loi de la forme:
T=To(1 -kz)
avec k une constante,
et que le champ de pesanteur g reste constant.
L'air est assimilé à un gaz
partait de masse molaire M.
L'indice zéro est relatif
aux grandeurs au sol.
1. Montrer que la pression suit une
loi de la forme :
Déterminer
l’expression de la constante α que l’on
prendra comme une donnée pour la suite de l’exercice.
2.
Exprimer la masse volumique de l'air r en fonction de P, Po ,
a et
.
Un aérostat est constitué par une enveloppe remplie
d'hélium (dont le volume ne peut dépasser la valeur maximale Vmax) à
laquelle est attachée une nacelle. L'enveloppe nacelle, accessoires et
passagers a une masse Mo. Il y a constamment communication entre
l'air atmosphérique et le gaz du ballon ce qui assure l'équilibre mécanique
et thermique entre les deux fluides.
3.
Faire le bilan des forces appliquées à l'aérostat.
Exprimer la force résultante
en fonction de
, Mo,
V, de la masse molaire M de l’air et celle M' de
l'hélium et de la masse volumique
de l'air.
A quelle condition, liant le volume initial Vo et la masse Mo,
le ballon pourra-t-il s'élever ?
4.
Exprimer la force résultante
en fonction de
, Mo, V, M, M’,
.
Quels sont les termes de cette expression qui varient lorsque l'altitude
z augmente ? Expliquer pourquoi l'ascension est la succession d'une
phase à masse constante et d'une phase à volume constant.
5.
Quelle est l'altitude d'équilibre, appelée plafond, de l'aérostat ?
