On se place dans le cadre de la statique des fluides
avec le champ de pesanteur uniforme et l’air assimilé à un gaz parfait. La
pression suit une loi de la forme :
L’air étant supposé suivre la loi des gaz parfaits,
on a :
On obtient :
Comme pour z = 0 on a :
2. Masse volumique de l’air.
L’équation (1) s’écrit en tenant compte de
l’expression de la température sous la forme :
D’après l’équation (2) :
3. Condition sur le volume initial.
On étudie, dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, le système constitué de la nacelle et de ses accessoires, des
passagers, de l’enveloppe du ballon et de l’hélium qu’il renferme. Cet
ensemble est soumis à :
La résultante des forces s’écrit :
Soit Vmle volume molaire dans les
conditions de température et de pression. Les deux gaz se trouvant dans ces
mêmes conditions :
On exprime alors la résultante des forces sous la
forme :
Lorsque le ballon est au sol on a ,
et l’enveloppe du ballon occupe un volume Vo :
L’aérostat s’élève du sol si Rz>
0 :
4. Ascension du ballon.
L’expression (4) permet d’écrire la résultante (3)
des forces sous la forme :
Lorsque l’aérostat s’élève les termes qui varient
sont et V.
V représente la masse d’hélium contenue dans
l’enveloppe.
Lorsque z augmente, diminue et donc V augmente de telle manière à
compenser cet effet : dans une première phase de l’ascension, la masse du
système reste constante et l’ensemble est animé d’un mouvement rectiligne
uniformément accéléré car .
Lorsque le volume atteint sa valeur maximale Vmax,
la masse volumique de l’hélium décroit et pour que cela soit possible il faut que de
l’hélium s’échappe du ballon :