M9.22. Pendule à point d’attache mobile.

1. Longueur du fil.

Le référentiel R’ est fixe dans le référentiel galiléen R. Ce référentiel R’ est donc galiléen.

On étudie la masse m dans ce référentiel R’ qui est soumise à :

            son poids  

            la tension  du fil.

On applique le théorème du moment cinétique à M par rapport au point O’ et cela dans le référentiel R’.

 

Or :

 

On obtient pour la dérivée du moment cinétique par rapport au temps dans R’ :

 

Pour les moments des différentes forces :

 

L’application du théorème du moment cinétique donne :

 

Dans le cas où l’angle reste petit, on fait l’approximation suivante :

 

On obtient alors l’équation différentielle :

 

La solution de cette équation différentielle, caractéristique d’un oscillateur harmonique, fait apparaitre une période T des oscillations de la masse m d’expression :

             

2. Moment des différentes forces.

On étudie la masse m dans le référentiel R’. Elle est soumise à :

            son poids  ;

             la tension  du fil ;

             la force d’inertie d’entraînement .

Comme R’ est en translation, la force d’inertie de Coriolis est nulle et la force d’inertie d’entraînement à pour expression :

 car tous les points du référentiels R’ ayant même vecteur accélération, en particulier celui du point O’, le point coïncident à P a même vecteur accélération que O’.

Pour les moments des différentes forces :

 

3. Equation différentielle du mouvement.
On applique le théorème du moment cinétique à P par rapport au point O’ et cela dans le référentiel R’.

 

Or :

 

On obtient pour la dérivée du moment cinétique par rapport au temps dans R’ :

 

L’application du théorème du moment cinétique donne :

 

4. Equilibre du pendule.

A l’équilibre du pendule dans le référentiel R’ on a :

             

L’équation différentielle s’écrit alors :

             

5. Période des oscillations.

On considère des petits mouvements autour de la position d’équilibre  et on pose alors  avec . On injecte cette expression de l’angle polaire dans celle de l’équation différentielle du mouvement :

             

Comme l’écart par rapport à la position d’équilibre est faible on peut écrire :

             

             

Ceci est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de période T d’expression :