M9.9. Pendule simple. Mouvement de translation rectiligne du point d’attache.

1. Equation différentielle.
On étudie la masse m dans le référentiel R’. Elle est soumise à son poids :

à son poids  ;

à la tension  du fil ;

à la force d’inertie d’entraînement .

Comme R’est en translation, la force d’inertie de Coriolis est nulle et la force d’inertie d’entraînement à pour expression :

.

 

On applique le théorème du moment cinétique à M par rapport au point O’ et cela dans le référentiel R’.

 

Or :

 

On obtient pour la dérivée du moment cinétique par rapport au temps dans R’ :

 

Pour les moments des différentes forces :

 

 

L’application du théorème du moment cinétique donne :

 

Dans le cas où l’angle reste petit, on fait les approximations suivantes :

 

On obtient alors l’équation différentielle :

 

 

 

2. Solution.

On recherche des solutions de la forme  qui caractérise le régime forcé. Pour cela on utilise la notation complexe pour déterminer l’amplitude des oscillations en posant :

 

En injectant cette expression dans l’équation différentielle et après simplification du terme temporel on obtient :

  

 

L’amplitude des oscillations est donc :