M9.4. Masse sur une tige en rotation autour d’un axe fixe et liée par un ressort.

Dans un plan horizontal, on considère deux axes orthogonaux Oxl et Oyl (référentiel galiléen (Rl) d'axes (O,xl,yl,zl).Une tige rectiligne Ox horizontale (référentiel (R) d'axes (O,x,y,z)) est assujettie à tourner autour de l'axe vertical Ozl confondu avec l’axe Oz avec une vitesse angulaire constante ω pour t > 0.

Sur cette tige peut glisser un anneau qu'on pourra assimiler à un point matériel M de masse m. Un ressort de masse négligeable, de constante de raideur K et de longueur à vide lo est enfilé sur la tige. Le ressort est fixé d'un côté à O et de l'autre à M, M pouvant glisser sur la tige sans frottement.
La tige exerce sur M une réaction qu'on notera à priori :

 

 

On posera : (Oxl,Ox) = θ = ωt et OM = x > 0.

 

Appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans (R) et en déduire l'équation différentielle du mouvement de M que l'on résoudra.
On discutera en fonction des valeurs de k, m et ω.

 

Conditions initiales :

M est lâché à t = 0 sans vitesse relative, avec θ = 0 et OM = xo (xo non nul).