M7.2. Mouvement hyperbolique d’un satellite
artificiel.
1. Vitesse et énergie mécanique.
On
étudie le satellite dans le référentiel géocentrique
que l’on pose galiléen.
Dans
ce référentiel, le satellite est soumis à la force
de gravitation d’expression :
vecteur de la base polaire car le mouvement est plan
La
seconde loi de la dynamique permet d’écrire que :
Comme le mouvement est circulaire on a
, d’où :
On
obtient par projection et simplification par m :
La
deuxième équation de ce système permet d’affirmer
que le mouvement est uniforme :
.
Le
satellite est donc animé d’un mouvement circulaire
uniforme à la vitesse
.
Grace à cette expression de la vitesse,
l’équation (1) s’écrit :
La
force gravitationnelle est conservative et dérive de
l’énergie potentielle :
la référence étant prise à l’infini de la Terre
L’énergie mécanique du satellite à la distance
s’écrit :
Le
satellite en orbite circulaire est dans un état lié,
il est donc normal de trouver une énergie mécanique
négative.
2. Trajectoire et nouvelle énergie mécanique.
On
considère le satellite en un point quelconque M’
de sa trajectoire après lui avoir communiqué un
excédent de vitesse en un point M de sa
trajectoire circulaire. Soit
sa vitesse en ce point.
Le
moment cinétique du satellite en ce point a pour
expression par rapport au centre O de la
Terre :
Le
théorème du moment cinétique s’écrit :
les vecteurs
étant colinéaires
Le
moment cinétique du satellite est donc
vectoriellement constant au cours du temps :
.
Ce
vecteur occupe alors dans l’espace une
direction fixe. Le vecteur position du satellite
reste perpendiculaire à cette direction fixe par
définition du produit vectoriel. Le mouvement de ce
satellite est alors contenu dans un plan contenant
le point O et le vecteur
.
Comme avant de lui communiquer un excédent de
vitesse, le satellite évoluait dans un plan
contenant le point O et le vecteur
et que les vecteurs
et
étant colinéaires, on peut affirmer que la nouvelle
trajectoire est contenu dans le plan de l’orbite
circulaire.
En
un point quelconque de la nouvelle trajectoire, le
moment cinétique du satellite s’écrit :
La
force gravitationnelle étant conservative il y a
conservation de l’énergie mécanique du satellite au
cours de son mouvement, on a alors en posant après
avoir communiqué l’excédent de vitesse :
L’énergie mécanique trouvée est positive, la
trajectoire du satellite est une hyperbole (ce qui
est cohérent avec le titre de l’exercice).
3. Equation polaire de la trajectoire.
Il
existe plusieurs démonstrations de la détermination
de l’équation polaire de la trajectoire d’un point
matériel soumis à une force centrale newtonienne.
Techniquement la plus simple est l’utilisation
conjointe de la relation de la dynamique et de
l’expression de la formule de Binet relative à
l’accélération. Comme le texte propose une étude
énergétique, on va utiliser la conservation de
l’énergie mécanique et en profiter pour démontrer la
formule de Binet relative à la vitesse.
On
pose
on peut écrire :
On
obtient ainsi une nouvelle expression de l’énergie
mécanique :
Comme l’énergie mécanique se conserve au cours du
temps :
or
Le
terme
est homogène à l’inverse d’une longueur p
telle que :
. L’équation différentielle du mouvement s’écrit
alors :
La
solution est de la forme :
On
pose
4. Expression de p et valeur de e.
Le
paramètre de la conique s’écrit en tenant compte de
la conservation du moment cinétique du satellite :
Comme à l’instant où l’on communique la vitesse
on a posé l’angle polaire nul on a :
On
trouve e > 1 ce qui confirme le caractère
hyperbolique de la trajectoire.