M4.6. Petites oscillations au voisinage d’une position d’équilibre.

1. Allongement a.

On applique au point M de masse m la seconde loi de Newton et cela dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Ce point est soumis à son poids et à la tension du ressort.

A l’équilibre :

             

A une date t du mouvement :

             

En effectuant (3)  (1) on obtient :

             

On pose  on a  d’où :

             

Cette dernière équation est celle d’un oscillateur harmonique.

X rend compte de l’écart par rapport à la position d’équilibre et  de la pulsation des oscillations autour de la position d’équilibre.

La relation (2) peut aussi s’écrire :

             

2. Equation différentielle.

Pour déterminer l’équation différentielle du mouvement, on applique au point M de masse m la seconde loi de Newton et cela dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Ce point est soumis à son poids, à la tension du ressort et à la réaction du support.

             

La projection suivant le vecteur  donne :

             

On exprime l’allongement  en fonction de l’angle  :

             

D’autre part :

             avec l’angle  tel que :  le triangle OBM étant isocèle.

             

En tenant compte des résultats (6) et (7), l’équation (5) s’écrit :

             

A l’équilibre  d’où :

             

Soit . L’équation différentielle (8) s’écrit alors :

             

Or  

             

Autour de la position d’équilibre , la masse m oscille à la pulsation . La position d’équilibre étudiée est donc stable.