1. Longueur à
l’équilibre. A l’équilibre la tige OB est horizontale. On étudie la masse m
dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à son poids , à la tension du ressort et à la réaction de la tige.
A l’équilibre on a : .
En projection suivant Oz :
Pour que l’équilibre existe
il faut que ka > mg.
2. Période des
oscillations. On applique la relation fondamentale de la dynamique :
La projection suivant permet d’écrire que :
Dans le triangle OBA,
la relation des « sinus » s’écrit :
D’autre part :
La relation (1) s’écrit
alors :
L’angle étant petit, on a en négligeant les infiniments
petits d’ordre 2 : . L’équation différentielle s’écrit :
La condition d’équilibre
déterminée à la question 1 permet d’exprimer la grandeur mg sous la
forme :
On obtient une nouvelle
expression de l’équation différentielle du mouvement :
D’autre part :
On peut alors exprimer les
termes intervenant dans l’équation différentielle (2) :
On obtient une nouvelle
expression de l’équation différentielle (2) :
La période des petites oscillations a pour expression :
Comme d’après la question 1 et que on obtient :
Lorsque ka est
voisin de mg par valeur supérieure, la valeur de la période des
oscillations devient grande ce qui en permet une mesure précise et ainsi
donne une valeur de l’intensité de la pesanteur au lieu de l’expérience.