M4.5. Gravimètre à ressort.

1. Longueur à l’équilibre.
A l’équilibre la tige OB est horizontale. On étudie la masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à son poids , à la tension  du ressort  et à la réaction  de la tige.

A l’équilibre on a : .

En projection suivant Oz :

 

Pour que l’équilibre existe il faut que ka > mg.

2. Période des oscillations.
On applique la relation fondamentale de la dynamique :

 

La projection suivant  permet d’écrire que :

 

Dans le triangle OBA, la relation des « sinus » s’écrit :

 

D’autre part :  

La relation (1) s’écrit alors :

 

L’angle  étant petit, on  a en négligeant les infiniments petits d’ordre 2 : . L’équation différentielle s’écrit :

 

La condition d’équilibre déterminée à la question 1 permet d’exprimer la grandeur mg sous la forme :

 

On obtient une nouvelle expression de l’équation différentielle du mouvement :

 

D’autre part :

 

On peut alors exprimer les termes intervenant dans l’équation différentielle (2) :

 

On obtient une nouvelle expression de l’équation différentielle (2) :

 

La période  des petites oscillations a pour expression :

 

Comme  d’après la question 1 et que  on obtient :

             

Lorsque ka est voisin de mg par valeur supérieure, la valeur de la période des oscillations devient grande ce qui en permet une mesure précise et ainsi donne une valeur de l’intensité de la pesanteur au lieu de l’expérience.