M3.16. Point mobile à l’intérieur d’un cône.

1. Cas d’un mouvement circulaire et uniforme.

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la loi de la dynamique appliquée au point M s’écrit :

             

La projection de cette expression dans la base cylindro-polaire s’écrit :

            (1) suivant  

            (2) suivant  

            (3) suivant  

Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme on a :

             

Les équations précédentes s’écrivent maintenant :

             

Le rapport des équations (3’) et (1’) donne :

             

2. Expression de la constante.

D’après l’équation (2’) :  

On détermine l’expression de la constante en utilisant les conditions initiales :

             

On reconnait ici la loi des aires : en effet dans le plan  le mouvement est à force centrale .

3. Equation différentielle.

On exprime l’énergie mécanique de la particule :

             

Or :       

Ces relations permettent d’éliminer de l’intégrale première de l’énergie la dépendance en  :

             

Comme , on obtient :

             

             

On recherche les extremums de la fonction  :

             

On peut déduire de cette étude graphique que : .

4. Evolution de r.

Comme à t = 0,  pour , l’une des deux positions limites  ou  doit être égale à a.

D’autre part comme la position d’équilibre  est nécessairement comprise entre  et , on peut en déduire que si :