Soit C un cône de sommet O, d’axe de révolution Oz, confondu avec la verticale ascendante et de demi angle au sommetα. Dans un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z), C est décrit par l’équation :  r = z tanα.

Un point matériel M de masse m repose sans frottement sur la surface interne de C, il est donc soumis à son poids  et à une action de contact normale à C :

 = - Ncosα  + Nsinα          avec N > 0

M est initialement lancé du point C de coordonnées cylindriques ro = a, ,  et avec une vitesse vo horizontale et tangente à C (  ).

On pose :  et ω = λ ωo.

1.    Exprimer la loi de la dynamique en coordonnées cylindriques. En déduire que, pour une valeur particulière λo de λ que l’on exprimera en fonction deα, le mouvement de C peut-être circulaire et uniforme.

Le mouvement du point M est maintenant quelconque.

2.    Etablir que . Déterminer l’expression de Cte. Interpréter.

3.    En exprimant la conservation de l’énergie mécanique de M, établir une équation différentielle ne contenant que r et sa dérivée par rapport au temps. On notera Ep_eff la partie de l’énergie mécanique ne dépendant que de r. Par une méthode graphique portant sur Ep_eff, déduire de cette équation que r reste toujours compris entre deux limites r1 et r2.

4.    Montrer que deux allures différentes d’évolution de r se présentent selon que λ est inférieur ou supérieur à λo.