M3.16. Point mobile à l’intérieur d’un cône. Soit C un cône de sommet
O, d’axe de révolution Oz, confondu avec la verticale
ascendante et de demi angle au sommetα.
Dans un système de coordonnées cylindriques (r, θ,
z), C est décrit par l’équation : r = z tanα.
Un point matériel M de
masse m repose sans frottement sur la surface interne de C, il
est donc soumis à son poids
et à une action de contact normale à C :
= - Ncosα
+ Nsinα
avec N > 0
M est initialement lancé
du point C de coordonnées cylindriques ro = a,
,
et avec une vitesse vo horizontale
et tangente à C (
).
On pose :
et ω = λ ωo.
1. Exprimer la loi de la dynamique en
coordonnées cylindriques. En déduire que, pour une valeur particulière λo
de λ que l’on exprimera en fonction deα,
le mouvement de C peut-être circulaire et uniforme.
Le mouvement du point M
est maintenant quelconque.
2. Etablir que
. Déterminer l’expression de Cte. Interpréter.
3. En exprimant la conservation de
l’énergie mécanique de M, établir une équation différentielle ne
contenant que r et sa dérivée par rapport au temps. On notera Epeff
la partie de l’énergie mécanique ne dépendant que de r. Par une
méthode graphique portant sur Epeff, déduire de cette équation que r reste toujours
compris entre deux limites r1 et r2.
4. Montrer que deux allures
différentes d’évolution de r se présentent selon que λ
est inférieur ou supérieur à λo.
|