M3.13. Mouvement d’une particule dans un champ de force dérivant de l’énergie potentielle Ep=kxy.

 

1. Unité de k.

Soit  l’unité de k.

             

2. Expression de la force.

La force  dérive d’une énergie potentielle Ep. Son expression en fonction de cette énergie s’écrit :

             

3. Travail de la force.

On peut appliquer la définition de l’énergie potentielle pour déterminer l’expression du travail :

             

Le travail de la force est résistant.

On peut aussi effectuer un calcul direct du travail :

             

4.a. Conservation de l’énergie mécanique.

L’énergie mécanique s’écrit :

             

L’expression de la différentielle de l’énergie mécanique s’écrit :

             

L’application du théorème de l’énergie cinétique donne :

             

Or les forces considérées ici sont supposées conservatives, cela permet alors d’écrire, compte tenu de la définition de l’énergie potentielle : .

Finalement :

              

4.b. Energie mécanique du point M.

L’énergie mécanique du système a pour expression :

             

Comme l’énergie mécanique est ici une constante du mouvement sa dérivée temporelle est nulle. On obtient :

               (r)

4.c. Zones interdites du plan.

Le mouvement de la particule doit vérifier l’inéquation suivante :

             

Dans le cadre de cette étude où l’énergie mécanique est négative, l’énergie potentielle doit vérifier l’inégalité qui suit :

             

La particule ne peut donc évoluer dans le premier et troisième quadrant du plan xOy.

4.d. Détermination de x(t).

La particule est soumise à la force  et à la réaction  de la tige. Dans le référentiel d’étude supposé galiléen la relation de la dynamique s’écrit :

             soit dans la base cartésienne :

             

La projection suivant  donne :

             

Ici comme  on a . Ces valeurs introduites dans l’équation (r) donnent :

             

On retrouve bien ici l’équation (r’) fournie par la relation de Newton car la réaction de la tige est ici une force conservative.

Comme  on obtient, en tenant des conditions initiales :