M3.13.Mouvement d’une particule dans un champ de force dérivant de l’énergie potentielle Ep = kxy.

On considère le référentiel galiléen (R) muni de la base .

On considère le point M de masse m, susceptible de se déplacer dans le plan xOy.

On suppose que M possède l'énergie potentielle Ep = kxy, avec k constante positive.

1. Quelle est la dimension de k ? Justifier la réponse.
2. Déterminer la force  qui dérive de Ep.

3. Calculer le travail W de  lorsque M se déplace de O en A (1, 1, 0). On donne k = 5 USI. Ce travail est-il moteur ou résistant ?

4. On suppose que M ne subit pas à priori d'autre force que , montrer que l’énergie mécanique Em est une constante.

5. Exprimer l'énergie mécanique Em de M en fonction de x, y, .
La dérivation par rapport au temps de cette expression de Em donne une relation (r) que l'on précisera entre .On dit que Em est une intégrale première du mouvement : expliquer ce que cela signifie.

6. Quelles sont les zones du plan xOy qui sont interdites pour M lorsque Em < 0 ?

7. On suppose que M est assujetti à se déplacer sans frottement sur la droite d'équation y = d (avec d constante positive) M subit alors la force  et la réaction de la tige . Montrer que la relation (r) reste valable dans ce cas, et déterminer x(t) si M est lâché sans vitesse initiale du point (x = 0, y = d, z = 0).