M3.11. Equilibre d’un point matériel.

1. Energie potentielle.

L’énergie potentielle de l’anneau est égale à la somme de l’énergie potentielle de pesanteur  et de l’énergie potentielle élastique .

Comme l’axe Oz est vertical et orienté vers le haut, l’énergie potentielle de pesanteur a pour expression :

             avec  

L’énergie potentielle élastique vérifie la relation :

             car
             

D’autre part :

             

Finalement :

             avec C une constante.

2. Positions d’équilibre de l’anneau.

Les positions d’équilibre de l’anneau correspondent aux extremums de l’énergie potentielle. D’où :

             

A l’équilibre :

             

L’étude de la courbe ci-dessous montre que la première position d’équilibre se situe entre 0 et  et que la deuxième se situe entre  et .

 

3. Stabilité des équilibres.

Pour déterminer la nature stable ou instable d’un équilibre, on étudie le signe de la dérivée seconde de l’énergie potentielle :

             

Cette étude permet d’affirmer que :

             correspond à une position d’équilibre instable ;

             correspond à une position d’équilibre stable.