M3.11. Equilibre d’un point
matériel.
1. Energie potentielle.
L’énergie potentielle de l’anneau est égale à la
somme de l’énergie potentielle de pesanteur
et de l’énergie potentielle élastique
.
Comme l’axe Oz est vertical et orienté vers
le haut, l’énergie potentielle de pesanteur a pour
expression :
avec
L’énergie potentielle élastique vérifie la
relation :
car
D’autre part :
Finalement :
avec C une constante.
2. Positions d’équilibre de l’anneau.
Les positions d’équilibre de l’anneau correspondent
aux extremums de l’énergie potentielle. D’où :
A l’équilibre :
L’étude de la courbe ci-dessous montre que la
première position d’équilibre se situe entre 0 et
et que la deuxième se situe entre
et
.
3. Stabilité des équilibres.
Pour déterminer la nature
stable ou instable d’un équilibre, on étudie le
signe de la dérivée seconde de l’énergie
potentielle :
Cette étude permet d’affirmer
que :
correspond à une position d’équilibre instable ;
correspond à une position d’équilibre stable.