M3.11. Equilibre d’un point matériel.

Le référentiel terrestre  est supposé galiléen.
Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon r placé verticalement dans le plan (Oxz). Il est susceptible de glisser sans frottement le long de ce guide circulaire et est soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. La résistance de l'air est négligeable.

Une force  tend à attirer l'anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force de rappel élastique due à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, dont l'autre extrémité serait fixée en A.

 

1.      Exprimer l'énergie potentielle Ep de l'anneau en fonction de l’angle θ.

2.      En déduire les positions d'équilibre de l'anneau.

3.      Etudier la stabilité de ces positions d’équilibre.