M3.4. Etude d'un système avec ressort. Bifurcation.

1. Energie potentielle.

Comme la masse m oscille dans un plan horizontal on peut poser que l'énergie potentielle de pesanteur est nulle dans ce plan. La réaction de l'axe Ox ne travaille pas car elle est normale au déplacement. Seule l'énergie potentielle élastique est susceptible d'évoluer dans le temps. Soit Ep cette énergie :

Comme cette fonction est paire, on peut limiter son étude pour x positif :

Si d l_o : la dérivée est toujours positive.

Si d < l_o : la dérivée s'annule pour

Les graphes d'énergie potentielle sont donc :

d l _o                                                                  d < l_o

Pour d l_o, la seule position d'équilibre stable est x = 0.

Pour d < l_o,x = 0 est une position d'équilibre instable et il y a deux positions d'équilibre stable

2. Analyse.

Tant que d l_o, le ressort est étiré et cela quelle que soit la position de la masse m sur l'axe Ox. C'est pour la position x = 0 que le ressort est le moins étiré et c'est pour cela que cette position constitue un équilibre stable.

Lorsque d < l_o, même en x = 0, le ressort est comprimé. Cette position reste une position d'équilibre mais elle est instable car toute perturbation écarte la masse m. Les nouvelles positions d'équilibre correspondent alors au ressort non tendu.