M2.9. Equilibre d’un point matériel.

1. Equation différentielle.

On étudie la masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les forces exercées sur ce point sont :

• son poids  
  
• l’action du ressort  
  
• l’action
  
   du support portée par le vecteur
  
   du fait de l’absence de frottements

La seconde loi de Newton permet d’écrire que :

             

En projection suivant  :

             

2. Positions d’équilibre.

A l’équilibre on a . Les positions d’équilibre vérifient l’équation :

             

Soit :

             

Il y a donc deux positions d’équilibre, une entre  et une autre entre , telles que :

             

3. Nature des équilibres.

Soit . On injecte cette expression dans l’équation différentielle déterminée à la question 1 :

             

La nature du mouvement autour d’une position d’équilibre, donc le caractère stable ou instable de cette position dépend du signe de  donc du signe de  :

• si
  
   admet alors une solution divergente, la position d’équilibre est instable.
• si
  
   admet alors une solution oscillante, la position d’équilibre est stable

 

Pour ,  est une position d’équilibre instable.

Pour ,  est une position d’équilibre stable.