M2.9. Equilibre d’un point matériel.

Le référentiel terrestre  est supposé galiléen.

Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon r placé verticalement dans le plan (Oxz). Il est susceptible de glisser sans frottement le long de ce guide circulaire et est soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. La résistance de l'air est négligeable.

Une force  tend à attirer l'anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force de rappel élastique due à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, dont l'autre extrémité serait fixée en A.

1.      A partir de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle .

2.      Déterminer l’expression des angles  correspondants aux positions d’équilibre de la masse m.

3.      En posant  et en vous aidant des résultats aux questions 1 et 2, justifier le caractère stable ou instable des positions d’équilibre.