M11.5. Chute d’un objet vers le Soleil.

On se place dans le référentiel barycentrique R* et on étudie le mouvement relatif des deux masses en utilisant la particule fictive P soumise à la force de gravitation qu'exerce la masse M sur la masse m.

La force de gravitation a pour expression :

 

Cette force dérive de l'énergie potentielle Ep que l'on détermine :

En posant l'énergie potentielle nulle à l'infini on trouve la constante d'intégration nulle.

 

Le mouvement de la particule F s'effectue avec conservation de l'énergie mécanique.

Dans R* et comme la vitesse n'a qu'une composante radiale tout au long du mouvement on a :

où la masse réduite du système est :

 

La vitesse s'écrit :

Un signe négatif apparaît car la composante de la vitesse est négative suivant l'axe radial lorsque les deux masses se rapprochent.

On sépare les variables :

On effectue le changement de variable suivant :

On a alors :

On obtient :