M1.11. Courbe d’équation r =aexpθ.

1. Equation différentielle.

Dans le cas d’un mouvement plan, l’accélération d’un point s’écrit en coordonnées cylindro-polaires sous la forme :

 

On exprime l’accélération radiale en faisant intervenir l’expression de r.

On a :

 

L’accélération radiale peut s’écrire :

 

L’égalité proposée par le texte permet d’écrire :

 

Soit :

 

2. Résolution de l’équation différentielle.

Comme l’équation différentielle établie n’est pas linéaire, on effectue un changement de variable pour la résoudre. On pose :  

L’équation différentielle s’écrit alors :

 

On sépare les variables :

 

D’où :

 

Or à  

On obtient :

 

 

Pour déterminer l’expression de l’angle polaire, on intègre le denier résultat :

 

 

 

 

Comme à t = 0, l’angle polaire est nul, on a Cste’ = 0. On obtient :

 

Le rayon polaire peut alors s’exprimer en fonction du temps sous la forme :

 

Pour  et on a :  

Pour  on a  pour t > 0 et on a :