M1.11. Courbe d’équation
r =aexpθ.
1. Equation
différentielle.
Dans le cas d’un mouvement
plan, l’accélération d’un point s’écrit en coordonnées cylindro-polaires
sous la forme :
On exprime l’accélération
radiale en faisant intervenir l’expression de r.
On a :
L’accélération radiale peut
s’écrire :
L’égalité proposée par le
texte permet d’écrire :
Soit :
2. Résolution de
l’équation différentielle.
Comme l’équation
différentielle établie n’est pas linéaire, on effectue un changement de
variable pour la résoudre. On pose :
L’équation différentielle
s’écrit alors :
On sépare les variables :
D’où :
Or à
On obtient :
Pour déterminer
l’expression de l’angle polaire, on intègre le denier résultat :
Comme à t = 0,
l’angle polaire est nul, on a Cste’ = 0. On obtient :
Le rayon polaire peut alors
s’exprimer en fonction du temps sous la forme :
Pour
et on a :
Pour
on a
pour t > 0 et on a :