EM5.3. E et B orthogonaux. Cycloïde.
1. Equations différentielles.
On étudie le mouvement de la particule dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen. Ce système est soumis à
l’action de son poids et à la force de Lorentz. On néglige cependant l’effet
du poids devant celui de la force électromagnétique. La seconde loi de
Newton permet d’écrire que :
L’accélération s’écrit alors :
On obtient le système d’équations différentielles
couplées suivant :
avec
2. Equations paramétriques de
la trajectoire
L’équation (3), compte tenu des conditions
initiales, donne z = 0. Le mouvement s’effectue dans le plan xOy.
L’intégration de (1) fournit :
Comme la composante initiale de la vitesse suivant
Ox est nulle on obtient :
On reporte ce dernier résultat dans l’équation (2) et
on obtient l’équation différentielle suivante :
La solution de cette équation est :
C et D sont des constantes d’intégration
que l’on détermine à partir des conditions initiales. En effet :
On obtient finalement :
Comme
on
a
L’intégration de cette dernière équation fournit, en
tenant compte des conditions initiales :
3. Allure de la trajectoire.
Pour déterminer l’allure de la courbe, on dresse un
tableau de valeurs :
On limite l’étude à l’intervalle utilisé compte de la
périodicité des fonctions utilisées.
4. Valeur de la vitesse.
La norme du vecteur vitesse a pour expression :
A la date
la
vitesse est égale à :
5. Utilisation du théorème de
l’énergie cinétique.
On applique le théorème de l’énergie cinétique entre
les dates 0 et
:
Or :
et
Finalement :
