EM3.9. Sphère creuse.

 

1. Expression du champ.

Tous les plans contenant le centre O de la sphère et le point M sont des plans de symétrie de la distribution des charges. Le champ électrique doit simultanément appartenir à l’ensemble de ces plans, il est donc porté par leur intersection qui est la droite OM. On obtient :

             

Comme cette distribution présente une invariance par rotation autour du point O, le champ électrique ne dépend pas alors des variables angulaires.

             

Ce résultat ne dépend pas de la position de ce point M.

On choisit alors une surface de Gauss centrée en O et de rayon r >R. Le théorème de Gauss s’écrit :

             

Pour la charge intérieure :

             

Le champ électrique a pour expression dans la région I :

             

2. Champ dans la région II.

On choisit alors une surface de Gauss centrée en O et de rayon r tel que . Le théorème de Gauss s’écrit :

             

Pour la charge intérieure :

             

Le champ électrique a pour expression dans la région II :

             

3. Potentiel dans la région I.

Le potentiel électrostatique vérifie la relation : .

On obtient dans le cadre de cet exercice :

             

Comme , on obtient :

             

4. Potentiel dans la région III.

Dans la région III, qui est vide de charge le champ électrostatique est nul. En effet :

             

La région III est alors un volume équipotentiel :

             

Pour déterminer cette constante Cte, il faut déterminer le potentiel dans la région II et écrire la continuité du potentiel en .

Pour la région II :

             

Cette nouvelle constante CTE se détermine par continuité du potentiel en r=R :

             

Le potentiel dans la région III a alors pour expression :

             

 

 

5. Charge surfacique.

La couronne sphérique a alors un volume assimilable à la différentielle du volume d’une sphère :

             

Avec . On obtient ainsi :

             

6. Différence de potentiel.

Comme l’intérieur de la sphère est un volume équipotentiel et qu’il y a continuité du potentiel à la traversée d’une couche chargée, la différence de potentiel U est nulle.

On peut montrer cela en calculant le potentiel au centre de la sphère et à l’extérieur de la sphère.

Comme la distribution des charges est d’extension spatiale finie on peut appliquer :

             

Pour déterminer le potentiel, on détermine dans un premier temps le champ électrostatique à l’extérieur de la sphère. L’application du théorème de Gauss donne :

             

De cela on en déduit le potentiel :

             

D’où :

             

On obtient ainsi :