E3.2. Régime transitoire et facteur de qualité d'un circuit RLC.

 

1. Charge du condensateur.

On écrit la loi des mailles :

En tenant compte des données :

Comme l'amortissement est faible, le discriminant de l'équation caractéristique est négatif :

Les solutions de l'équation caractéristiques sont :

La solution de l'équation différentielle est :

A t = 0 on a :

La bobine assure la continuité de l'intensité.

L'exploitation de ces conditions initiales permet de déterminer les constantes A et B.

On obtient alors pour l'expression de la charge :

 

2. Expression de l'énergie du système.

L'énergie du circuit à pour expression :

On exprime l'intensité i(t) :

+

(-

 

En réduisant au même dénominateur on obtient :

 

Comme l'amortissement est faible, on a les approximations suivantes :

On a alors les expressions approchées suivantes pour q(t) et i(t) :

On obtient pour expression pour l'énergie :

 

 

3. Facteur de qualité.

On exprime la variation d'énergie relative sur une pseudo-période T :

Or :

En faisant un développement limité justifié par le résultat précédent, on obtient :

 

Le facteur de qualité du circuit RLC peu amorti est donc :