E3.10. Réponse d’un circuit R, R’//C à un échelon de tension.

1. Expression de u(t).

Les lois de Kirchhoff permettent d’écrire :

             

Or :

             

En injectant les expressions de (1) dans (2) on obtient :

             

Afin d’effectuer des comparaisons avec le circuit (R, C) on pose :

             

On peut remarquer que :

             

et que :

             ;  correspondant à la situation où ce conducteur n’est pas présent.

La solution de l’équation différentielle vérifiée par u(t) est de la forme :

             

Comme à l’instant  le condensateur est déchargé et que de plus il y a continuité de la tension aux bornes  d’un condensateur, on peut écrire :

             

On obtient ainsi l’expression de la tension u(t) :

             

2. Comparaison du comportement de la charge du condensateur.

En l’absence de la résistance de fuite (  ) on a :

             

En présence de la résistance de fuite on a :    

Comme , la charge du condensateur s’effectue plus rapidement en présence de la résistance de fuite R’.

Le comportement à la date de fermeture de l’interrupteur s’apprécie en étudiant la pente de ces deux fonctions :

             

La pente à l’origine est la même pour les deux cas.

 Pour  on a :