Devoir 8.

 Exercice 1. Planètes. (extrait Ecoles des Mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes 2007)
Nous voulons étudier le mouvement d'une planète P, assimilée à un point matériel dans le champ de gravitation d'une étoile de masse  de centre O, considérée comme ponctuelle et fixe. La planète de masse  est située à une distance  de O. Nous considérerons un référentiel lié à l'étoile comme un référentiel galiléen.

1.    Exprimer la force exercée par l'étoile sur la planète en fonction des masses  et , ,  ,  la constante universelle de gravitation et le vecteur unitaire  = .

2.    Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce plan. On notera  la base de projection dans ce plan et  , un vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique en O, . Rappeler l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Préciser l'expression de  en fonction de .

3. On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement circulaire de rayon  et de période . On notera , le module de la vitesse pour un mouvement circulaire.

3.1.        Etablir l'expression de la vitesse de la planète,  en fonction de ,  et .

3.2. En déduire une relation entre ,  et  (3ème loi de Képler).

3.3. Exprimer alors la vitesse  en fonction de ,  et .

3.4. En déduire l’énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de , ,  et .

4. On rappelle que  l'équation polaire d’une ellipse est   où  est une distance appelée  paramètre et , un coefficient positif sans dimension appelé l'excentricité compris entre 0 et 1. On se propose d’étudier le mouvement de la planète à l’aide du vecteur excentricité,  où  est la vitesse de la planète et  est un vecteur orthogonal au  grand axe de l’ellipse (voir figure ci-dessous). Aucune connaissance sur ce vecteur n’est nécessaire pour répondre aux questions suivantes.

4.1. Montrer que ce vecteur est constant au cours du temps.

4.2. En faisant le produit scalaire  et en s’aidant du dessin, montrer que  et  en déduire que le module de  vaut l'excentricité  de la trajectoire. 
Préciser en fonction de  et .

4.3.  Préciser la valeur de l’excentricité pour un mouvement circulaire.

4.4. Dans le cas d’un mouvement circulaire, préciser la valeur de  en fonction de   et . Retrouver à l’aide du vecteur excentricité, l'expression de la vitesse de la planète,  en fonction de ,  et .

 

Exercice 2. Modèles d’atmosphère. (d’après Centrale).
L’air, considéré comme un gaz parfait, est en équilibre statique dans le champ de pesanteur terrestre g supposé constant. On désigne par Oz l’axe vertical ascendant et on étudie l’évolution de la pression P, de la température T et de la masse volumique ρ en fonction de l’altitude z du point considéré.

On pose :

,   

1.    On suppose l’air en équilibre. Etablir sous forme différentielle l’équation qui régit l’équilibre de l’air sous l’action des forces de pression et des forces de pesanteur.

2.    Dans le cas où l’atmosphère est en équilibre isotherme à la température , déterminer la pression et la masse volumique à l’altitude z en fonction de , z et g.
A.N. A quelle altitude a-t-on  ?

3. Dans le modèle de l’atmosphère adiabatique, on admet qu’il existe entre P et ρ une relation de la forme : où γ  est une constante.

3.1  Montrer que T vérifie l’équation différentielle suivante : où α est une constante que l’on exprimera en fonction de .
Remarque : Pour établir ce résultat il est bon d’utiliser la différentielle logarithmique : .

3.2  En déduire alors T(z), P(z) et ρ(z) en fonction de  

3.3  Montrer que, dans ce modèle, l’atmosphère est limitée et calculer l’altitude limite dans le cas où γ  = 1,4.

3.4  Quelle valeur faudrait-il donner à γ pour que ce modèle coïncide avec celui de l’atmosphère isotherme ?  

 

Exercice 3. Etude d’une centrifugeuse. (d’après Concours National DEUG 2000).

Le système présenté figure 1 représente une centrifugeuse de laboratoire. Il est composé d'un bâti (0), d'un rotor (1) et d'une éprouvette (2). Il sert généralement à séparer deux liquides, de masses volumiques différentes, contenus dans l'éprouvette (2).

Le rotor (1) est entraîné en rotation autour de l'axe  par un moteur électrique à la vitesse angulaire . Sous l'effet centrifuge de cette rotation, l'éprouvette (2) pivote autour de  d'un angle α, provoquant ainsi la séparation des deux liquides. Le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté dans le fond de l'éprouvette.

Le référentiel terrestre  est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère . Le référentiel est associé au bâti (0).

On notera  le référentiel rapporté au repère orthonormé direct tel que . Le repère  rigidement lié au rotor (1), se déduit à chaque instant de par une rotation d'angle  autour de l'axe  .

On notera le référentiel rapporté au repère orthonormé direct tel que . Le repère , rigidement lié à l'éprouvette (2), se déduit à chaque instant de par une rotation d’angle autour de l’axe .

On définit les vecteurs suivants : et .

Dans une première approche, on considérera que la séparation des deux liquides n'entraîne pas de modification dans la position du centre de gravité de l'éprouvette donc la distance  est constante au cours du temps.

On donne ci-après l'orientation des différents repères les uns par rapport aux autres :

1.    Exprimer dans la vitesse angulaire du référentiel par rapport à .

2.    Déterminer la vitesse  du point A lié au rotor (1) par rapport à et exprimer la dans .

3.    Que peut-on dire des vitesses du point A lié au rotor (1) par rapport à et du point A lié à l'éprouvette (2) par rapport à ? Justifier.

4.    Déterminer la vitesse du point G lié à l'éprouvette (2) par rapport à et exprimer la dans .

5.    Déterminer l'accélération  du point G lié à l'éprouvette (2) par rapport à  et exprimer la dans .