Devoir 3.

 

Exercice 1. Mouvement sur une spirale.

Un point M décrit la courbe d’équation, en coordonnées polaires (r, θ) :

 avec a, r_o et  des constantes.

 

1.      Calculer, dans la base polaire, l'expression du vecteur vitesse du point matériel M.
Déterminer la norme de ce vecteur vitesse.

2.      On rappelle que la norme du vecteur vitesse est liée au déplacement élémentaire ds sur la courbe par la relation : . 
Déterminer l’expression de la longueur L de la courbe parcourue par le point M  lorsqu’il atteint l’abscisse angulaire .

3.      Déterminer les composantes radiale et orthoradiale de l'accélération.

4.      On lance maintenant le point matériel de la position A correspondant à  avec une vitesse initiale v_o tangente à la courbe en A. Les frottements du point matériel sur la courbe font que la norme de sa vitesse décroît selon la loi  avec α un coefficient positif. Attention, dans cette partie la vitesse angulaire n’est plus une constante.
Déterminer l’expression de v  en fonction du temps t.
Quelle durée met le point M à s’arrêter ?
Que doit valoir le paramètre α pour que le point matériel s'arrête au point B tel que .

 

Exercice 2. Etude d’un réseau par différentes méthodes.

On considère le réseau linéaire suivant :

 

1.        Déterminer l’intensité I circulant dans la branche AC en utilisant :

ü  les lois de Kirchhoff ;

ü  le principe de superposition.

2.        En utilisant le théorème de Millman, déterminer la tension  .

 

 

 

Exercice 3. Ponts diviseurs.

 

On propose de calculer la résistance équivalente de la cascade infinie de ponts diviseurs.

1. Calculer la résistance équivalente
   
    à l'association en série d'une résistance r et d'un groupe
   (r //
   
    ).
   Calculer, de même, la résistance équivalente
   
    de l’association série d’une résistance
   
    et d’un groupe
   
   .
   Que constatez-vous ? En déduire une relation simple entre
   
    et
   
   .

2.  Exprimer la résistance équivalente de l'ensemble en fonction de
   
   .
   A partir des deux questions précédentes établir une équation du second degré en
   
   .
   En déduire d'expression de
   
   . Application numérique : b = 2.