T8.2. Sédimentation.

On disperse N particules identiques, assimilées à des boules de masse m et de rayon a dans un bécher cylindrique de section S rempli d'eau.

 

1.    Une particule dispersée est soumise à son poids et à une force de frottement fluide donnée par la formule de Stokes :  où η est le coefficient de viscosité de l'eau.
Déterminer la vitesse limite v_L des particules dispersées, supposée atteinte très rapidement.
En déduire le nombre de particules dispersées  traversant une section horizontale du bécher entre les instants t et t + dt, en fonction notamment de la densité particulaire n(z).

2.    Du fait de l'existence d'un gradient de densité particulaire, un phénomène de diffusion se superpose au phénomène étudié dans la question 1. 
Exprimer le nombre de particules dispersées  diffusées à travers une section horizontale du bécher entre les instants t et t + dt, en fonction notamment du coefficient de diffusion D et de .

3.    En déduire en régime permanent une équation différentielle donnant n(z) et donner sa solution.
En admettant que n(z) est aussi donnée par un facteur de Boltzmann , en déduire une relation entre D, a, η, T et la constante de Boltzmann k.
On donne à T = 293 K les coefficients de diffusion D = 6,9.10^-11 m².s^-1 de l'hémoglobine dans l'eau et D = 1, 8.10^-9 m².s^-1 du dioxygène dans l'eau, ainsi que le rayon a = 3 nm d'une molécule d'hémoglobine. En déduire le coefficient de viscosité de l'eau η et le rayon d'une molécule de dioxygène.