T5.9. Cycle de
Joule.
Enoncé.
Une masse m = 1 kg d’air
décrit le cycle thermodynamique suivant :
état A
: To = 300K, Po =
;
état B :
,
état C :
état D :
transformations AB et
CD : adiabatiques réversibles ;
transformations BC et
DA : isobares.
L’air est assimilé à un gaz
parfait, de capacité calorifique à pression
constante
et de rapport
.
Constante des gaz parfaits :
R = 8,31 S.I
- Calculer les valeurs des
températures
pour k = 10.
Donner l’allure du
cycle en diagramme de Clapeyron (P en
fonction de V).
- Faire le bilan énergétique
du cycle :
quantités d’énergie thermique échangées ;
travail total : est-il reçu ou fourni ?
De
quel type de machine s’agit-il ?
Définir et
calculer son rendement (ou efficacité).
- Les échanges thermiques du
fluide ont lieu uniquement avec deux sources :
une source chaude à
;
une source froide à
.
Le cycle étudié est-il réversible ? Expliquer
pourquoi il l’est ou ne l’est pas.
Que
peut-on calculer pour le vérifier numériquement ?
- Calculer les variations
d’entropie de l’air pour les différentes
transformations.
Quelles relations doivent vérifier ces différentes
quantités ?
- Le cycle étant décrit dans
le sens correspondant à un moteur, et les
températures des sources restant inchangées,
exprimer le travail total récupéré en fonction
de
.
Quelle valeur doit-on donner à k
pour obtenir le travail maximal ?
T5.9. Cycle de
Joule.
Corrigé.
1. Températures.
Une transformation adiabatique,
réversible d’un gaz parfait de coefficient
γ constant vérifie la loi de Laplace :
On peut donc écrire pour les
transformations AB et CD :
De même :
2. Bilan énergétique.
Pour les transformations
adiabatiques AB et CD on a :
Sur une transformation isobare
on a
d’où :
Le gaz décrivant un cycle, on a
alors :
Le cycle est parcouru dans le
sens horaire. L’aire de ce cycle est positive et
correspond donc à
car
. Le travail total est donc négatif et fourni à
l’extérieur. Le cycle étudié est moteur dont le
rendement est défini par :
3. Cycle réversible ?
Le cycle étudié n’est pas
réversible car les échanges d’énergie par chaleur
lors du contact avec les sources ne se font pas en
suivant une transformation isotherme
aux différents stades des évolutions BC et
DA.
Pour montrer cela il faut
opérer un bilan entropique et montrer que la
création d’entropie sur le cycle est positive.
Le second principe postule que
sur un cycle :
4. Variations d’entropie de
l’air sur les différentes transformations.
Sur les adiabatiques
réversibles (isentropiques) la variation d’entropie
est nulle.
Pour les transformations
isobares, on utilise l’identité thermodynamique :
On obtient ainsi :
Sur le cycle on a :
5. Travail maximal.
D’après la question 2 :
Le maximum sera obtenu pour
.
