T3.7. Travail des forces de pression.
Enoncé.
Partie A.
On
réalise la compression isotherme d'une mole de gaz
parfait contenu dans un cylindre de section S.
On suppose que le poids du piston est
négligeable devant les autres forces intervenant
dans le problème. La température To est
maintenue constante par un thermostat. P1 et P2
sont les pressions initiale et finale. P1 est la pression atmosphérique.
1.
Comment réaliser une compression isotherme ?
2.
Représenter graphiquement cette
transformation en coordonnées (V, P).
3.
Calculer le travail fourni W1
à une mole de gaz partait.
Partie B.
On
réalise maintenant cette compression brutalement; en
posant sur le piston de section S une masse
M calculée de telle sorte que la pression
finale à l'équilibre soit P2
à la température To.
4.
Discuter ce qui se passe.
5.
Calculer le travail fourni W2
à une mole de gaz partait.
Partie C.
6.
Représenter le travail fourni dans ces deux
situations en traçant y = W1/P1V1
et
y’ = W2/P2V2 en fonction de x = P2/ P1.
On vérifiera que le travail fourni au gaz dans la
transformation brutale, décrite ici, est toujours
supérieur au travail fourni lors de la compression
isotherme quasi statique.
Partie D.
On
effectue l'expérience en deux étapes successives:
compression brutale de P1
à 2P1 puis de 2Pl
à P2,
avec Pl
< 2P1
< P2.
7.
Comparer avec les situations antérieures.
Conclure.
T3.7. Travail
des forces de pression.
Corrigé.
Partie A.
1. Réalisation
d’une compression isotherme de la pression
à la pression
.
Une transformation
isotherme est une transformation quasi
statique et mécaniquement réversible au
cours de laquelle la température du système est
constante et égale à celle du milieu extérieur.
Une transformation
est quasi statique lorsqu’elle amène le
système d’un état d’équilibre initial à un état
d’équilibre final en le faisant passer par une
succession continue d’états d’équilibre.
Une transformation
est dite mécaniquement réversible si elle est
quasi statique et si en outre à chaque instant de
l’évolution il y a équilibre mécanique entre le
système considéré et l’extérieur avec lequel il est
en contact.
S’il y avait un
équilibre parfait entre le système et le milieu
extérieur il ne pourrait pas se produire de
transformation : pour que celle-ci puisse exister
il est donc nécessaire qu’il existe un très faible
déséquilibre tel que si on le supprime, l’évolution
progresse alors dans le sens contraire en repassant
exactement par les mêmes états intermédiaires
mécaniques.
L’exercice étudie une
compression isotherme d’un gaz parfait de la
pression
à la pression
: à chaque étape de l’évolution, le travail mécanique
fourni par l’extérieur au système doit être
intégralement échangé par chaleur par le système
avec l’extérieur (les parois du système sont
nécessairement diathermanes). Pour que cet échange
soit complet cela impose de procéder très lentement
: on peut, par exemple, déposer très progressivement
un à un des grains de sable sur le piston de telle
manière à ce que la pression extérieure (et donc
celle du système) passe de façon quasi continue de
la pression
à la pression
.
2. Représentation
graphique.
Au cours d’une
transformation isotherme à la température To
d’un gaz parfait, l’équation d’état permet
d’écrire que :
3. Travail fourni.
On étudie le système
constitué du cylindre, du piston sans masse et du
gaz parfait.
Le travail
élémentaire s’écrit :
Or :
On obtient ainsi :
Partie B.
4.
Caractéristiques de la transformation.
Il y a maintenant une
descente brusque du piston. La transformation n’est
plus mécaniquement réversible car la pression du gaz
n’est pas définie au cours de l’évolution.
Cette compression est
non représentable par une courbe dans le diagramme
P, V : seuls les points correspondant
à l’état initial et l’état final peuvent y figurés.
Cependant la pression
extérieure
et la température extérieure sont considérées comme
constantes.
Le gaz subit une
évolution monobare à la pression
et monotherme à la température To.
5. Travail.
Le travail
élémentaire s’écrit :
Partie C.
6.
Représentations graphiques.
On pose :
On peut remarquer
que :
. Le travail fourni lors de la compression isotherme
qui est mécaniquement réversible est plus faible que
celui fourni lors de la compression brutale qui
n’est pas mécaniquement réversible.
Partie D.
7.
Compressions en deux étapes.
On
calcule le travail total fourni au système lors
d’une nouvelle compression effectuée de manière
brutale mais cette fois en deux étapes successives.
Pour la
première étape :
Pour la
seconde étape :
Le
travail total W3 a pour
expression :
Ce
résultat correspond à la courbe
La
condition
implique
. On ne trace alors que la partie
de la droite
.
On peut
remarquer qu’opérer en deux étapes successives
permet de se rapprocher de la
courbe y,
c’est-à-dire d’une transformation mécaniquement
réversible.
