T2.14. Equilibre d'une sphère flottant sur un liquide.

Une sphère pleine homogène de rayon R et de masse volumique  peut flotter dans un liquide de masse volumique . On désigne par X la partie du diamètre vertical immergé et on pose .

1. Pour quelles valeurs de α y-a-t-il immersion totale et demi-immersion ?
2. Montrer que l'équilibre de la sphère se traduit par une relation de la forme :
   
   .
   Donner b et c en fonction de R et α.
3. La sphère est en équilibre avec 0 < X < 2R. On l'enfonce légèrement et on l'abandonne.
   Quel est son mouvement ?