T2.12. Mouvements verticaux de masses d’air.
On supposera le champ de pesanteur g localement uniforme. Le vecteur unitaire  est dirigé selon la verticale ascendante.

Constantes et données numériques.

Constante des gaz parfaits                 R = 8, 3 J/K.mol

Accélération de la pesanteur              g = 9, 8  m.s^-2

Masse molaire moyenne de l’air        M = 29 g.mol^-1

 

Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.

 

Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l'altitude z.

1. Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression p(z), la masse volumique ρ(z) et g.
2. On considère l'air sec comme un gaz parfait ; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de température To. Déterminer p(z) et ρ(z) à l'aide de p(0), ρ(0), M, g, R et To.
3. Calculer la hauteur caractéristique H correspondante pour une température de 10°C.

 

Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplace verticalement dans l'atmosphère supposé être en équilibre hydrostatique mais non isotherme a priori. On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type « bulle de savon » d'effet négligeable. La pression dans la bulle est supposée être à tout instant égale à la pression extérieure correspondant à l'altitude où se trouve la bulle.

Avant d'être déplacée, la bulle de volume Vo est en équilibre à l'altitude zo et sa température et sa pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T(zo) et p(zo).

4. La bulle est déplacée à la hauteur zo + h. En supposant les variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la variation δV de volume en fonction de Vo, ρ(zo), g, h et du coefficient de compressibilité isentropique χs défini par :
   
   .
5. Montrer, qu’à la hauteur zo + h, la poussée d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle s’écrit :
   
   .
6. En déduire l'équation du mouvement de la bulle.
7.  Quelle condition, doit vérifier le gradient relatif de masse volumique
   
    pour que l'équilibre de l'air en zo soit stable?  On exprimera cette condition en fonction de χ_s, γ  et ρ(zo). Déterminer dans ce cas la pulsation Ω(zo)  des oscillations d'une bulle autour de l'altitude zo. Cette pulsation Ω(zo) est appelée « pulsation de Väisälä-Brunt ».