T2.5. Equilibre hydrostatique d'une étoile de masse volumique non constante.
 

On considère une étoile à répartition sphérique de matière, de masse m, de centre O et de rayon R. En un point M à distance r de O, on note m(r) la masse volumique et p(r) la pression. On adopte une relation polytropique de la forme p(r) = Cm² où C est une constante.

Le champ gravitationnel en un point M de l'astre à distance r de O a pour composante suivant le vecteur radial :

où K est la constante de gravitation et m(r) la masse contenue dans la sphère de rayon r.

1. Déterminer l'expression de m(r) en fonction de r et m(r).

2. En traduisant l'équilibre d'un élément de volume de l'étoile montrer que la masse volumique vérifie l'équation différentielle suivante :

3. On pose f (r) = rm(r). Montrer que f(r) est solution d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.

   En déduire la forme générale de m(r).

   On donne :