T1.2. Fuite d'air dans une cabine spatiale.

Une cabine spatiale de volume V = 200 m³ contient de l'air, que l’on assimilera à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol^-1, maintenu à la température To = 20°C. En régime normal, la pression Po est de 1,0 bar (10⁵ Pa). A l’approche de Mars, le vaisseau rencontre une pluie de micrométéorites, la cabine est alors transpercée et un trou de surface S la met en communication avec le vide extérieur. La climatisation fonctionnant toujours, la température reste égale à To, mais la pression P diminue lentement.
Au bout de deux minutes, l’équipage constate une diminution de la pression initiale de 50 %.

1.  Déterminer l’équation différentielle vérifiée par le nombre N de molécules contenues dans la cabine.

2.   Déterminer la solution de cette équation et en déduire la loi P(t) vérifiée par la pression dans la cabine.

3.   Déterminer la section S du trou percé par une des micrométéorites.

Pour obtenir un ordre de grandeur, nous adoptons des hypothèses simplificatrices:

• Le trou étant petit, l'air se détend lentement en restant au repos. On néglige tout mouvement macroscopique;

• La climatisation assure le maintien de la température et l'uniformisation de l'air dans toute la cabine;

• On considère que toutes les molécules ont une vitesse égale à u, vitesse quadratique. De plus, ces vitesses ne sont orientées que selon les trois directions de l'espace et de façon isotrope.

Constante des gaz parfaits : R = 8,31 U.S.I.