O1.5. Arc-en-ciel.

On considère une sphère transparente d'indice n, de centre O, de rayon R, baignant dans l'air (d'indice pratiquement égal à 1). Cette sphère est éclairée par un faisceau de lumière parallèle, dont un rayon x'A atteint la sphère en A. En A se produit une réfraction. On choisit pour plan de figure le plan défini par O et x' A.

X' OX est l'axe passant par O, de mêmes direction et sens que x' A. On choisit un sens positif dans le plan de figure.

Soit B le point où le rayon réfracté recoupe la sphère. En B, la lumière peut être soit réfractée, soit réfléchie, mais on ne considérera que le rayon réfléchi. On pose (OA, A x') = i et (AO, AB) = r.

Soit C le point où le rayon réfléchi en B recoupe la sphère. En C, on ne considérera que le rayon réfracté Cy.
On pose : α = (OX', Cy).

1.        Peut-il y avoir réflexion totale en B ?

2.        Montrer que α = 4 r - 2 i.

3.        Exprimer ensuite α  en fonction de i et n uniquement.

4.        Etude des variations de α  avec i.
a. Montrer que l'on peut restreindre cette étude à l'intervalle .
b. Calculer la dérivée de α par rapport à i.
c. Calculer les coordonnées de l'extremum, puis α, pour les valeurs suivantes de i : 0, ,  ,  ,  ,  ,  . La précision demandée est 10^-2 .On adoptera encore la valeur n = 1,333.