M9.17. Mouvement et équilibre relatif d’une particule sur une tige en rotation.

 

Une particule P, de masse m, glisse sans frottement sur une droite (D), qui tourne autour de l’axe vertical Oz, sans le rencontrer, avec une vitesse angulaire constante ω. On étudiera le mouvement relatif de P par rapport au référentiel orthonormé  non galiléen () Oxyz lié à la droite (D), où Oy a la direction de la perpendiculaire OA = a, à Oz et à (D).

Soit  l’angle constant que fait (D) avec le plan horizontal xOy. On pose AP = r.

On désignera par g l’accélération de la pesanteur et par  le vecteur unitaire de (D).

On supposera le référentiel terrestre (_T) galiléen.

 

 

1.        En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans () et en tenant compte que la réaction  est orthogonale à (D) du fait de l’absence de frottement, montrer que le mouvement relatif de P dans () obéit à une équation différentielle du second ordre du type : .

On exprimera les constantes α et β en fonction de ω,  et g.

2.        En déduire la loi r(t) du mouvement. (Comme les conditions initiales ne sont pas données, on ne cherchera pas à exprimer les différentes constantes qui apparaissent dans l’expression de r(t)).

3.        Déterminer la position Po où la particule est en équilibre relatif.

4.        Pour déterminer la stabilité de cet équilibre, on imagine un petit déplacement ε autour de la position d’équilibre, tel que r = ro + ε.

Déterminer l’équation différentielle vérifiée par ε.

Déterminer ε(t) et conclure sur la stabilité de la position d’équilibre relative.