M9.7. Mouvement d'un glaçon sur un plateau en
rotation.
Enoncé
Un
plateau circulaire de centre O et de rayon
R tourne autour de l'axe vertical Oz.
La rotation est uniforme de vecteur rotation
.
A
t = 0, on dépose un morceau de glace G
ponctuel à une distance ro du
point O.
On
suppose que la vitesse initiale de G est
celle du point du plateau coïncident.
Déterminer le mouvement ultérieur du glaçon.
On
donne :
M9.7. Mouvement d’un glaçon sur un plateau en
rotation.
Corrigé
On
étudie le glaçon dans le référentiel non galiléen
lié au plateau. A une date t, ce système est
soumis à :
-
son poids
-
à la réaction
du plateau, perpendiculaire au plateau du
fait de l'absence de frottement.
-
à la force d'inertie d'entraînement
car le plateau est animé d'un mouvement de
rotation uniforme autour de l'axe Oz.
-
à la force d'inertie de Coriolis
.
La
relation de la dynamique s'écrit dans le référentiel
du plateau :
La
projection de cette équation dans la base cylindro-polaire
donne :
On
obtient :
(1)
(2)
(3)
L'équation (2) peut se mettre sous la forme :
On
obtient ainsi une constante du mouvement :
Comme
à la date t = 0, le glaçon est déposé sur le
plateau à la distance ro avec la
vitesse du point coïncident, le glaçon est immobile
par rapport au plateau. On a donc :
On
peut ainsi exprimer la vitesse angulaire du glaçon à
la date t :
(4)
L'équation (1) s'écrit alors :
La
multiplication de cette équation par
donne :
Cette
dernière équation peut alors s’exprimer sous la
forme de la dérivée par rapport au temps d’une
constante :
Comme
à la date t = 0 on a
la constante Cste vaut
:
L’expression de la vitesse radiale du glaçon est :
Pour
déterminer r(t) opère une séparation
des variables :
Pour
la recherche de la primitive on effectue un
changement de variable en posant
avec
. On obtient alors :
L’application des conditions initiales donne cte
= 0.
Comme
on obtient :
Ce
résultat n’est en fait que le théorème de Pythagore
appliqué dans le référentiel galiléen du laboratoire
où le glaçon est animé d’un mouvement rectiligne
uniforme à la vitesse
et où la grandeur introduite lors du changement de
variable n’est autre que l’angle que fait le vecteur
avec l’axe Ox du référentiel terrestre:
Pour
déterminer l’évolution de l’angle polaire
dans le référentiel tournant, on reprend l’équation
(4) :
On
injecte le résultat de l’équation (5) :
Lorsque t tend vers l’infini la vitesse
angulaire du glaçon tend vers l’opposé de celle du
plateau dans le référentiel du laboratoire.
Pour
déterminer la trajectoire du glaçon dans le
référentiel du plateau on recherche les équations
paramétriques
.
En
posant
et ro = 1,0 m on a :
L’allure de la courbe est alors :
