M9.3. Masse sur une tige en rotation autour d’un axe fixe.

Dans un plan horizontal, on considère deux axes orthogonaux Oxl et Oyl (référentiel galiléen (Rl) d'axes (O,xl,yl,zl).Une tige rectiligne Ox horizontale (référentiel (R) d'axes (O,x,y,z)) est assujettie à tourner autour de l'axe vertical Ozl = Oz avec une vitesse angulaire constante ω pour t > 0. Sur cette tige peut glisser un anneau qu'on pourra assimiler à un point matériel M de masse m. La tige exerce sur M une réaction qu'on notera à priori :

 

On posera : (Oxl,Ox) = θ = ωt et OM = r > 0.

M peut glisser sans frottement le long de la tige Ox.

 

1.      Exprimer les vecteurs vitesse relative et accélération relative en fonction de r ou de ses dérivées, dans la base liée à la tige.

2.      Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à M dans (R) et en déduire l'équation horaire r(t), puis l'équation polaire r(θ) de la trajectoire de M dans (Rl).
Conditions initiales : M est lâché à t = 0 sans vitesse relative, avec θ = 0 et OM = ro (ro non nul).

3.      Déterminer le module R de la réaction de la tige sur M .