M9.2. Etude d’un séismographe élémentaire.
Ce système peut être utilisé dans la mesure de
l’amplitude d’une secousse sismique.
Le bâti rigide d'un sismographe est soudé en O
au sol horizontal Oxy.
La masselotte dotée de son index, de masse m,
est accrochée à un ressort sans masse de raideur k, de longueur à
vide lo.
Le ressort est fixé au bâti. ( AB = h > lo
).
On note y(t) l'altitude du centre d'inertie de
la masselotte-index au dessus du sol Oxy.
Le tout est amorti de façon "fluide visqueux" (d'où la
présence du pot amortisseur). La force d'amortissement est de la forme :
.
Le champ de pesanteur d'intensité g est supposé
uniforme et constant.
Le mouvement de tremblement du sol est idéalisé par une
vibration sinusoïdale :
S(t) = So
cosωt avec So>
0, ω > 0, et où S(t)
représente la cote du sol Oxy, à la date t au-dessus du plan
galiléen GXY.
On notera
où
représente l'altitude par rapport au sol Oxy
d'équilibre de la masselotte-index en l'absence de tremblement du sol.
1. Montrer que l'équation
différentielle en
ε du mouvement dans le
référentiel non galiléen Oxy s’écrit :
On posera
et
avec Q facteur de qualité. (Des schémas
clairs sont demandés).
2.
En résolvant cette équation par la méthode complexe, déterminer
l'amplitude
de
ε en fonction de So,
Q et u= ω/ωo.
3.
Etudier, avec soin, la fonction
(Comportement asymptotique, extremum et
condition d’existence de ces derniers …).
4. Tracer le graphe de l'amplitude
de
ε en fonction de u pour
Q = 1 en précisant la valeur de points particuliers.
5. Comment choisit-on ωo
en pratique pour un sismographe et pourquoi?
