M9.2. Etude d’un séismographe élémentaire.

 

1. Equation différentielle du mouvement.

On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen de repère (O, x, y). Elle est soumise à :

• 
  
   ;
• l’action du fluide
  
   ;
• la poussée d’Archimède
  
   ;
• l’action du ressort
  
   où V désigne la position à vide dans le référentiel d’étude et M la position à une date t quelconque ;
• la force d’inertie d’entraînement
  
  .

 

La force d’inertie de Coriolis est nulle car le référentiel d’étude est en translation.

La loi de la dynamique permet d’écrire que :

 

Suivant Oy :

 

Comme le référentiel d’étude est en translation, l’accélération d’entraînement est égale à l’accélération du point O dans le référentiel galiléen. Soit :

 

On obtient :

 

Lorsqu’il n’y a pas de tremblement de terre  S est nulle, et la masse m est à l’équilibre dans le référentiel d’étude. L’équation précédente s’écrit alors :

 où E désigne la position d’équilibre de la masse m.

En faisant la différence entre les deux dernières équations on obtient :

 

 En posant  et en remarquant que , on obtient :

 

 

2. Amplitude.

En régime harmonique la réponse est de la forme :

 

On passe en notation complexe :

 

En reportant dans l’équation différentielle on obtient :

 

 

3. Etude de l’amplitude de la réponse.

Soit  

 

La fonction f(u) passe par un extremum lorsque :

 

L’abscisse de cet extremum est :

 

L’extremum de f(u) est en fait un minimum, donc un maximum de .

D’autre part :

 

 

4. Graphe.

Pour Q = 1, on a  

Un sismographe est un système qui doit reproduire la vibration excitatrice. On veut donc . Cette égalité est vérifiée pour u >> 1 soit .