M9.14. Exemple de bifurcation en mécanique.

Un point matériel A, de masse m, évolue sans frottement sur un guide circulaire C, vertical, de centre O et de rayon r. Le contact se maintient au cours du mouvement: concrètement, A peut être représenté par une perle enfilée sur C. Ce guide tourne uniformément, à la vitesse angulaire , ( Ω  > 0), autour de son diamètre BH. Ce dernier est dirigé suivant l'axe vertical ascendant Oz d'un référentiel terrestre R supposé galiléen.

On caractérise la position de A sur C par le paramètre angulaire . En outre, on note  le champ de pesanteur terrestre.

 

1.    Exprimer, en fonction deθ, l'énergie cinétique de A, par rapport au référentiel tournant lié au guide R' = Ox'y'z.

2.    Trouver l'énergie potentielle de pesanteur en fonction deθ. On prendra comme origine la valeur à θ  = π/2.

3a.  A quelle condition peut-on appliquer le théorème de l'énergie cinétique dans le référentiel R' ?

3b.  Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle.  En prenant, là aussi, comme origine la valeur à θ  = π/2, donner l'expression de cette énergie potentielle en fonction deθ.

4.    On pose . Déduire de ce qui précède que l'énergie potentielle totale peut se mettre sous la forme :

 

       où  et K une constante que l’on déterminera en fonction de m, g et r.

5a.  Etablir, à partir du théorème de l'énergie mécanique appliqué dans le référentiel tournant R', l'équation différentielle à laquelle satisfaitθ.

5b.  Trouver les positions d'équilibre de A dans R'.  Que peut-on dire de la stabilité de ces positions d'équilibre?

5c.  Tracer le graphe donnant la position d'équilibre stable θe ≠ 0 en fonction de Ω. On précisera les valeurs de la pente dθe/dΩ  pour Ω  = Ωc et Ω >> Ωc.  Le point correspondant à Ω  = Ωc, est appelé point de "bifurcation".  Quelles sont les positions d'équilibre stable pour Ω  = Ωc/  et pour Ω  = Ωc .