M9.10. Etude d’un équilibre relatif.

Une tige OP, de longueur a, tourne autour du point O à la vitesse angulaire ω constante dans un plan horizontal. Un point matériel M de masse m est mobile sans frottement dans ce plan horizontal.

Le référentiel terrestre  est considéré comme galiléen.

On note  le référentiel lié rigidement à la tige OP et qui se déduit à chaque instant de  par une rotation d’angle θ autour de l’axe O_zo.

On considère aussi le référentiel  tel que P  soit colinéaire à  et se déduit à chaque instant de  par une rotation d’angle α autour de l’axe P  

On note ,  et .

On pose : .

Le point  M est rappelé vers le point P par un ressort exerçant sur le point M une force .

On néglige les actions de la pesanteur.

 

1.      Déterminer la vitesse du point M par rapport à  notée  que l’on exprimera dans la base de .

2.      Déterminer l’accélération du point M par rapport à  notée  que l’on exprimera dans la base de .

3.      Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans .

4.      En déduire les deux équations du mouvement de M donnant les relations entre les variables r et α en fonction des autres caractéristiques du système étudié.

5.      Déterminer les positions d’équilibre relatif du point M par rapport à la tige OP.
A quelles conditions existent-elles ?