M7.7. Mouvement de comètes.
Dans ce problème on étudie le mouvement de la Terre ou
de comètes attirées par le Soleil, supposé avoir une masse très grande par
rapport à celle des objets étudiés. Le repère associé au Soleil est supposé
galiléen. L’énergie potentielle est prise égale à zéro quand la distance
entre les objets cosmiques concernés tend vers l’infini.
On donne:
G = 6, 67.1011
S.I constante de la gravitation universelle
Mo
= 2,0.10.30
kg masse du Soleil
Ro =
150.106 km
rayon de l’orbite terrestre supposée circulaire
To = 1 an
période de rotation de la terre autour du Soleil
1. Exprimer la vitesse Vo
de la Terre par rapport au repère galiléen associé au Soleil en
fonction de G, Mo
et Ro.
2. Exprimer en fonction de G,
Mo, Ro
et m (masse de la Terre) l’énergie cinétique, l’énergie
totale, le moment cinétique de la terre par rapport au Soleil, et la période
To. A quoi correspond la
dernière de ces relations?
Une comète dont la trajectoire est coplanaire à
l’orbite terrestre a une masse mC.
Son périhélie (point de passage le plus proche du Soleil) se trouve à la
distance
du centre du soleil, la vitesse en ce point étant
2Vo.
3. Calculer l’énergie totale de la
comète et en déduire la nature de la conique qu’elle décrit.
4. Exprimer la vitesse de la comète en
fonction de sa distance au centre du Soleil.
5. Déterminer l’équation polaire de la
trajectoire de la comète : l’axe polaire sera choisi confondu avec l’axe
focal, et orienté de façon qu’au cours
du mouvement
soit une fonction croissante. Faire un schéma.
6. L’orbite de la Terre coupe celle de
la comète en deux points A et B. Montrer que AB est un
diamètre de l’orbite terrestre.
On étudie maintenant la comète de Halley dont l’orbite
n’est pas dans le plan de l’orbite terrestre Le périhélie de la comète de
Halley se trouve à la distance 0,6 Ro
du centre du Soleil ; sa période est T
= 76 années terrestres.
7. Quelle est la nature de la conique
décrite par la comète de Halley ? Donner l’expression de son équation
polaire, l’axe polaire étant confondu avec l’axe focal Faire un schéma.
8. Calculer l’excentricité e et
le paramètre p de la comète.
