M7.3. Chute d’un météorite.
Enoncé.

Un météorite, de masse m, a, très loin de la Terre, une vitesse  de module vo portée par une droite Δ située à une distance b du centre O de la Terre. On suppose que le météorite est soumis uniquement au champ gravitationnel terrestre et qu’il n’y a jamais de forces de frottement. Soit A le point de la trajectoire tel que la distance Terre-météorite soit minimale. On note OA = d. On supposera que la Terre reste immobile dans un référentiel galiléen.

On veut déterminer à partir de quelle valeur de b le météorite s’écrasera sur la Terre.
On notera G la constante de gravitation, M la masse de la Terre, supposée sphérique, homogène, de masse volumique ρ, de rayon R.

1. Donner l’expression de la force de gravitation en un point P de la trajectoire tel que OP= r. Calculer l’énergie potentielle Ep (r) du météorite en ce point. On prendra Ep(∞ ) = 0.

2. Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du mouvement? On donnera une justification. En déduire que la trajectoire est plane.

3. Donner l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Montrer qu'en A, point de la trajectoire le plus proche de O, la vitesse  (de norme  ) est orthogonale à .

4. En explicitant la question 2), trouver deux relations liant b, d, G, M, vo, .

En déduire l'expression de d en fonction de G, M, b, vo.

Soit R le rayon de la Terre. Quelle condition doit satisfaire b pour que le météorite de vitesse initiale vo rencontre la Terre ?

 

 

 

M7.3. Chute d’un météorite.
Corrigé.

1. Force. Energie potentielle.

La force de gravitation s’exerçant sur le météorite en un point P de sa trajectoire a pour expression :

             

Remarque : Dans cette expression de la force de gravitation le vecteur  est a priori celui de la base sphérique et non celui de la base cylindro-polaire car on ne sait si le mouvement du météorite est plan ou pas.

Si la force de gravitation dérive d’une énergie potentielle son travail élémentaire doit être égale à l’opposé de la différentielle d’une fonction appelée énergie potentielle (ce qui revient à dire que le travail de cette force entre deux points donnés de l’espace ne dépend pas du chemin suivi par le point P entre ces deux points) :

             

Comme le vecteur  est unitaire, le produit scalaire  est nul. On a  ainsi :

             

On peut donc écrire le travail élémentaire de  la force de gravitation sous la forme :

             

Si l’on prend  on a alors Cste = 0. On obtient :

             

2. Grandeurs conservées.

Le météorite n’étant soumis qu’à la force gravitationnelle qui est conservative (car dérivant d’une énergie potentielle), il y a conservation de son énergie mécanique :

             

Comme le champ de force est central, le moment cinétique se conserve au cours du temps, en effet :

             

Le vecteur moment cinétique st donc une constante vectorielle du mouvement  

Ce vecteur garde une direction fixe dans l’espace au cours du temps et donc au cours du mouvement du météorite. Or le vecteur position  du météorite est orthogonal au vecteur moment cinétique , il s’ensuit que le vecteur  est donc toujours contenu dans un plan orthogonal à  : le mouvement du météorite est donc plan défini par le point O et le vecteur vitesse initial .

On peut donc maintenant poser que le vecteur  introduit à la première question est celui de la base cylindro-polaire.

3. Orthogonalité.

Comme le mouvement du point étudié est plan on peut écrire en coordonnées polaires que :              

Au point A, r est minimum donc  d’où :

             

Le vecteur vitesse  est colinéaire au vecteur  et donc orthogonal au vecteur  

4. Relations.

 La conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire que :

             

On utilise maintenant la conservation du moment cinétique :

             

Soit H le projeté orthogonal de O sur Δ :

 car les vecteurs  et  sont colinéaires.

Comme  et  on obtient :

             

5. Expression de D.

De l’équation (2) on tire que .

On introduit cette expression de la vitesse  dans l’équation (1) :

             

On obtient ainsi une équation du second degré en d :

             

On ne conserve que la racine positive de cette équation :

             

6. Condition sur b.

Le météorite rencontre la Terre lorsque r ≤ R or . Il y a donc rencontre si :

             

En reprenant l’équation du second degré portant sur d on dans le cas où  :

             

             

Dans le cas où  on obtient pour