M7.1. Mouvement
elliptique d’un satellite artificiel.
Enoncé.
Un
satellite artificiel de
la Terre a une trajectoire
elliptique, son apogée est à l'altitude hA
= 350 km et son périgée à l'altitude hP
= 200 km. On note RT
le rayon de la Terre.
-
Déterminer le paramètre p et
l’excentricité e de 1'ellipse en fonction
de RT,
hA et
hP.
-
Exprimer le demi-grand axe a, le
demi-petit axe b et la demi-distance
interfocale c en fonction de RT,
hA et
hP.
-
En déduire a, b, c en fonction de RT,
hA et
hP.
Calculer numériquement tous les paramètres
de l'ellipse (RT
= 6400 km).
-
Calculer littéralement l'énergie totale du
satellite en fonction de p, e et k
constante de force d'interaction puis en
fonction de a et k. Conclure.
M7.1. Mouvement elliptique d’un satellite
artificiel.
Corrigé.
1.
Paramètre et excentricité.
On
travaille dans le référentiel géocentrique
assimilable au référentiel barycentrique compte tenu
de la masse de
la Terre
devant celle du satellite. Ce référentiel est
supposé galiléen.
La
masse du mobile équivalent est aussi très peu
différente de celle du satellite.
On se
place dans le cas où l'axe polaire est confondu avec
l'axe focal de la conique, l'équation de la
trajectoire est alors de la forme :
On
considérant les valeurs extrémales de r on a
:
Le
rapport de ces deux dernières égalités donne :
D'où
:
Comme
:
On a
alors :
Finalement :
2.
Demi-grand axe, demi-petit axe et demi-distance
interfocale.
Nous
avons :
L'excentricité e est définie par e = c/a.
On obtient :
Comme
:
On
obtient :
3.
Expression de a, b et c.
Comme
:
On a
:
D'autre part :
|
e =
0,011
p = 6674,2 km
a
= 6675 km
c =
75 km
b = 6674,6 km
|
La
trajectoire est quasi circulaire.
4.
Energie mécanique.
La
force qui s'exerce sur le satellite est :
L'énergie potentielle associée est donc :
avec
:
L'énergie mécanique s'écrit en utilisant la formule
de Binet relative à la vitesse :
Comme
:
On
obtient :
Or :
Comme
:
L'énergie mécanique d'un satellite ne dépend pas de
l'excentricité mais seulement du grand axe.
