M6.7. Sismographe de La Coste.
Enoncé.

Une tige, de masse négligeable et de longueur L, portant un point matériel A de masse m, oscille sans frottement autour de l'axe Oz horizontal d'un référentiel terrestre R = Oxyz (Oy est la verticale ascendante). Un ressort, d'extrémités B et C, exerce sur la tige une force de rappel  proportionnelle à sa longueur CB.

On note :

       , α étant un angle fixe.

 

1. En appliquant le théorème du moment cinétique, établir l'équation différentielle en θ.
2. A quelle condition sur m, g, l, a, b, K et α, l'angle définissant la position de repos
   est-il nul ?
3. Trouver l'expression de la période des petites oscillations en fonction de a, g et α.
   On donne a = 5 cm.
   Quelle doit être la valeur de α pour avoir une période To de 20 s ?

 

 

 

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Corrigé.

1. Equation différentielle du mouvement.

On étudie le système constitué de la tige sans masse et du point matériel A et cela dans le référentiel terrestre posé galiléen.

Ce système est soumis à :

          Son poids :  

          Réaction de l’axe de rotation en O :  

          Tension du ressort :  

On applique le théorème du moment cinétique en O :

           

Avec :

           

         

           

La relation des « sinus » permet d’exprimer la longueur BC et l’angle γ en fonction des données l, α et θ :

           

 

           

 

On obtient en effectuant une projection suivant le vecteur  :

           

                   

2. Condition.

Au repos :

           

Avec ces valeurs l’équation différentielle du mouvement s’écrit :

           

3. Période des petites oscillations.

On utilise la relation précédente pour exprimer sous une nouvelle forme l’équation différentielle du mouvement :

           

Dans le cas où l’angle θ est petit, l’équation différentielle s’écrit :

           

L’équation différentielle est caractéristique d’un oscillateur harmonique de pulsation  et donc de période :

           

Pour