M6.5. Mouvement d’une particule dans un champ de force dérivant de l’énergie potentielle Ep = kxy.

On considère le référentiel galiléen (R) muni de la base .

On considère le point M de masse m, susceptible de se déplacer dans le plan xOy.

On suppose que M possède l'énergie potentielle Ep = kxy, avec k constante positive.

1.    Déterminer la force  qui dérive de Ep.

2.    Donner l'expression du vecteur moment cinétique  de M en O.

3.    Appliquer le théorème du moment cinétique à M, et déduire une relation ® entre .

4.    On suppose que M se déplace sur la droite d'équation y = x + l, et que la résultante des forces subies par M se réduit à . Que devient ® dans ce cas ?
Déterminer x(t) si M est lâché du point d'abscisse a avec une vitesse nulle à t = 0.

5.    En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à M, en déduire le système d'équations différentielles satisfaites par x et y.

6.    On pose p = x + y et q = x - y : donner le système d'équations différentielles satisfaites par p et q et résoudre si M est lancé à t = 0 du point (x = a, y = a) avec la vitesse (v_o,-v_o).

7.    En déduire x(t) et y(t).