M5.5. Oscillateur mécanique. Résonateur.

Un grand soin devra être apporté aux schémas et aux applications numériques.

 

On considère l'oscillateur mécanique représenté figure 1, composé d'une masse m et d'un ressort de constante de raideur k, l'ensemble étant suspendu au point P. La cote z_M du point M situé à la base de la masse est notée z_o + δ (t), où z_o désigne la cote de la position d'équilibre de M lorsque P est fixe en Po.
Ce point P est maintenant animé autour de Po d'un mouvement sinusoïdal vertical, imposé par un vibreur et donné par

a (t) = a_o cos ωt avec a_o > 0. On suppose de plus que la masse m est soumise à une force de frottement fluide de type visqueux  avec  

 

1.      Ecrire l'équation différentielle vérifiée par δ (t).

2.    On se place en régime sinusoïdal forcé ; on note respectivement  et  les amplitudes complexes associées à

a (t) = Re (  ) et à la vitesse  de la masse. Calculer le rapport ; le mettre sous la forme  et exprimer  en fonction de ω, à l'aide des paramètres ω_o et Q, où  

3.      Donner l'allure du graphe du module de  en fonction de ω ; on supposera Q >> 1.
Que représentent ω_o et Q ?

4.      Déterminer et faire un graphe de l'argument  de  en fonction de ω. Sur quelle plage de pulsations se produisent essentiellement les variations de  ?
Calculer  en fonction de Q et ω_o.