M5.4. Oscillations forcées
d'un véhicule sur une route ondulée.
Enoncé.
Un véhicule automobile est
sommairement modélisé par une masse m placée en M
et reposant sur une roue de centre O, par
l'intermédiaire d'un ressort de raideur k mis
en parallèle sur un amortisseur de coefficient de
frottement h. En toutes circonstances, l'axe
OM reste vertical. On se propose
d'examiner le comportement du véhicule lorsqu'il a
la vitesse v sur une route dont le profil
impose au centre O de la roue une élongation
zO(t) = acos (2πx/λ)
par rapport à sa position d'équilibre. On repère le
mouvement de la masse par son élongation z(t)
par rapport à sa position d'équilibre quand le
véhicule est au repos. On rappelle qu'un
amortisseur placé entre O et M exerce
sur M une force de frottement fluide
proportionnelle à la vitesse relative de M
par rapport à O :
.
1. Etablir l'équation
différentielle en z(t) du mouvement de
la masse, lorsque le véhicule se déplace à vitesse
constante v.
2. Déterminer l'amplitude du
mouvement d'oscillation vertical du véhicule en
régime permanent.
A quelle allure convient-il de
rouler pour que cette amplitude soit aussi faible
que possible ?
M5.4. Oscillations forcées
d'un véhicule sur une route ondulée.
Corrigé.
1. Equation différentielle
en z(t).
Dans le référentiel terrestre
posé galiléen on applique la seconde relation de
Newton à la masse m :
(1) où :
force de frottement fluide
tension du ressort avec l longueur du ressort
à une date t et lo sa
longueur à vide
poids de la masse m
Comme la vitesse du véhicule
est constante on peut écrire que
et donner ainsi une nouvelle expression à
l’élongation :
(2)
On projette l’équation (1)
suivant
:
(3)
Lorsque la masse m est à
l’équilibre la relation (3) s’écrit :
(4) avec
longueur du ressort à l’équilibre.
De (4) on tire que :
(5)
En tenant compte du résultat
(5), la relation (3) devient :
(6)
D’autre part :
(7)
(8)
Il vient ainsi en explicitant
(7) et (8) dans (6) :
(9) avec
2. Amplitude du mouvement.
On applique la méthode de la
représentation complexe :
avec
En introduisant cette
expression de l’élongation dans l’équation (9) et en
simplifiant par
on obtient :
avec
car
L’amplitude du mouvement a pour
expression :
(10)
On peut remarquer que :
, correspondant à une vitesse nulle de la voiture ;
Pour ce type de système il
existe une pulsation de résonance
qui correspond à une certaine vitesse
.
Il faut donc rouler à une
vitesse supérieure à celle de résonance pour que
l’amplitude des oscillations soit faible mais au
risque d’une perte d’adhérence du véhicule.
